请教一道题
How many parts can space be divided into by five planes at most? Maybe 32？Each new plane turns each original space into two. hualaishi 发表于 2022-9-8 10:04Maybe 32？Each new plane turns each original space into two.
I don't think so.For example, when you add the 4th plane, not all spaces will be split into two. 2楼肯定不对，后面不可能每个平面都能分2部分 新星 发表于 2022-9-8 10:24
2楼肯定不对，后面不可能每个平面都能分2部分
Yep, so what's the correct answer? ;P也许可以用CAD来解决这个问题 本帖最后由 樊老师 于 2022-9-8 10:54 编辑
平面分空间为多少个部分是有特定计算方法的：n个平面最多能将空间分为(n³+5n+6)÷6个部分。
所以本题答案是5³+5×5+6=26
但具体的推导过程需要从简单出发：
①原本的整个空间为一个部分
②新增第1个平面会将原本的整个空间一分为二，新增1个部分，共1+1=2个部分
③新增第2个平面会将原本的2个部分都一分为二，新增2个部分，共2+2=4个部分
黑色表示原本的平面或相交线，蓝色表示新增的平面，红色表示新增的相交线（下同）
④新增第3个平面会将原本的4个部分都一分为二，新增4个部分，共4+4=8个部分
⑤新增第4个平面能否将前者的8个部分都一分为二呢？这也是本题的难点。
我们可以将前面的8个部分转化成8个小正方体来理解：
问题就转化为：新增一个平面最多经过这8个部分中的几个部分？（经过N个部分就会将这N个部分都一分为二，也就会新增N个部分）
能否同时经过这8个部分呢？经过尝试会发现最多只能经过7个部分：
可是这是为什么呢？
大家通过观察可以发现，新增的平面会经过几个部分，其实就是这个平面被先前的平面分成了多少块；
例如新增第2个平面时，它被第1个平面分成2个部分（与第1个平面有1条相交线），所以经过了新增2个部分；
新增第3个平面时，它被第1个平面和第2个平面分成4个部分（与第1个平面和第2个平面分别有1条相交线），所以经过了新增4个部分。
则新增第4个平面时，它最多被前3个平面分成几个部分呢？
每两个平面之间最多有1条相交线，所以第4个平面最多与前3个平面分别有1条相交线，这3条线最多将第4个平面分成几个部分呢？
1条直线最多将平面分成2个部分（原本整个平面的1个部分加新增的1个部分，1+1=2）
2条直线最多将平面分成4个部分（原本2个部分加新增的2个部分，1+1+2=4）
黑色表示原本的线，蓝色表示新增线，红色表示的交点
（交点越多，则新增的线被分的段数越多，则新增的线经过的区域越多，则新增的部分数越多）
3条直线最多将平面分成7个部分（原本4个部分加新增的3个部分，1+1+2+3=7）
所以新增第4个平面时，它最多被与前3个平面的相交线分成7个部分，也就是最多经过7个部分，最多将这7个部分一分为二，也就是最多新增7个部分；
所以4个平面最多将空间分成8+7=15个部分。
那新增第5个平面时最多新增几个部分也类似：
第5个平面最多与前4个平面有4条相交线，4条直线最多将平面分成1+1+2+3+4=11个部分
所以5个平面最多将空间分成15+11=26个部分。
本题核心在于从简单出发，寻找新增部分数与平面相交线数以及直线分平面的部分数的关系，从立体降维到平面进行分析。
事实上，n个平面最多能将空间分为1+1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+…+个部分，利用通项归纳和整数裂项可以化简为(n³+5n+6)÷6。
lol，樊老师很专业:loveliness: suifeng 发表于 2022-9-8 10:35
Yep, so what's the correct answer?
看下面的樊老师，回复了，答案是26。很精彩 樊老师 发表于 2022-9-8 10:52
平面分空间为多少个部分是有特定计算方法的：n个平面最多能将空间分为(n³+5n+6)÷6个部分。
所以本题答案 ...
天呐，樊老师讲解的太好了吧，我都看明白了，还配合着画图来讲解，真的很用心了
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