解决RMO和APMOPS数论问题的重点方法——因数分解

崔老师

为了帮助大家备考RMO和APMOPS，我们上次分享了计数模块中的常用方法——插板法：

https://bbs.kangaroo.study/forum.php?mod=viewthread&tid=1158&fromuid=74

除了计数模块以外，数论的相关知识点同样是这两个竞赛的重点考察内容，尤其是对于RMO来讲，数论是命题占比最高的模块：

RMO 2014-2024Round1 知识点分布

此篇文章会继续帮助大家来学习数论模块的常用解题方法：因数分解（Factorization）。

一、因数分解的特点

因数分解指的是将一个整数写成另外几个整数相乘的形式（比如35=5×7），从而利用分解后的因数 (Factor) 来解决问题。

这个技巧并不复杂，孩子们最早在P3、P4阶段就会对这部分知识有所接触。但是在实际的考试以及大量的模拟考中我们发现孩子这部分题目的得分率并不高，症结不在于这个知识点本身，而是孩子们遇到题目之后想不到可以用这个方法来解决问题。所以，大家首先要充分理解因数分解的两个特点：

1. 已知若干数的乘积；

2. 解决整数问题情景。

遇到含有以上两个特点的问题我们就可以利用因数分解来解决问题。

二、常考的题目类型

在数论问题中，在符合上述两个特点的前提下，我们主要利用因数分解去解决三类问题：

(1) 寻找特定因数

例如：

The product of three consecutive numbers is 1716.Find the largest of these numbers.

我们可以发现这道题我们就是已知乘积，且所有数都是整数，所以可以用因数分解：1716=2×2×3×11×13=11×12×13，从而找到这连续的三个数中最大是13. 可见，在明确题目问题是在找因数后，因数分解是必须要进行的操作。

在APMOPS中我们也可找到对应的真题，大家可以进行练习：

It is given that the product of four consecutivenatural numbers is 1680. Find the sum of these four numbers.

(2) 寻找因数的个数

这部分知识是结合因数个数定理进行考察，例如：

Find the number of factors of 420.

我们可以利用因数分解：420=2×2×3×5×7，所以在组成因数时，2的个数我们可以选择0个、1个、2个，共3种选择，其余的3、5、7均可选、可不选，也就是各有2种选择，所以一共有3×2×2×2=24种组合方式，对应24个因数，利用这个思路，我们可以解决一系列与因数个数相关的问题，他们都建立在因数分解的基础上。比如2021 APMOPS的第13题：

(3) 利用因数分解来计数

很多问题看上去像计数问题，其实是以因数分解作为前提，例如2024 APMOPS中的第7题：

30 identical small cubes are placed together toform a rectangular solid. Find the total number of different rectangular solidsthat can be formed in this way.

我们可以发现在确定了长方体的长、宽、高以后长方体形状就已固定，那么在总共正方体个数是30的前提下，长、宽、高的积就必须是30，从而我们可以在因数分解后将因数进行不同的组合，从而来计数：

由分解情况可知答案为5种。

以上为有关因数分解考题的三种类型，遇到与之相关的题目我们可以直接分解因数来解决。但在RMO和AMOPS中，会有很多题目进行伪装，所以同学们也要熟悉常见的三种“变形”。

三、考察因数分解题目的相关变形

上文我们提到的因数分解的两个特点中“解决整数问题”是大的前提，不会有太大的变化。但是在RMO和APMOPS中，通常不会直接给出若干数乘积的形式，而是会做一些变形，为了帮助大家更好的准备这两个竞赛，崔老师根据近年考题为大家整理了因数分解有哪些“伪装”：

(1) 从数列的和得到数的乘积

例如2024 RMO中的题目：

Given that the sum of N consecutive numbers is2024, find the maximum number of N.

这道题虽然没有数的相乘的形式，但是我们知道连续的数相加其实是可以写成整数的相乘形式的，所以只需要把最小的数设为a，连续的N个数相加就可以表示成：

从这个形式我们可知 (2a+N-1) 和N是4048的因数 (factors)，并且一个是odd number，一个是evennumber，从而可以用分解因数来解决问题：4048=2×2×2×2×11×23，从大到小依次验证可得N最大为23.

所以大家在遇到连续数相加的形式时可以先考虑转化成乘法来解决问题。

2023RMO中也有一道类似的题目，大家可以拿来练习：

(2) 从提取公因数得到数的乘积

例如2023 RMO中的第9题：

通过观察我们可以发现左边式子中都拥有a，所以可以提取a, 将式子变形为:

通过以上可知，a为2023的primefactor，而2023=7×17×17，在括号内从小到大验证可得括号内最小为3×3×2×2×2×2×2+1=289，此时a=7，b=3，c=2，d=5，问题得以解决。从以上问题可知，只要数中有相同部分，我们就可以利用提取公因数来变成乘法，从而利用因数分解来解决问题。

2024APMOPS中也有一道类似的题目，大家可以拿来练习：

(3) 从平方差公式来得到数的乘积

例如：

Anatural number N, when added to 100, results in a perfect square. When N is subtractedby 100, the result is also a perfect square. What could be this number?

这道题当中有两个square numbers，分别可以用square of a和square of b来表示，根据题意我们可知这两个square numbers之间的difference是200，此时就可以利用平方差公式得到：(a+b)(a-b)=200, 这个式子为两数相乘的形式，且 (a+b) 和 (a-b) 都是整数，所以这两个式子就是200的factors，此时利用因数分解就可以找到 (a+b) 和 (a-b) 可能的值，从而求出a和b，N的值也就知道了。

以上就是因数分解相关题目的三种变形，大家要将其熟练掌握，祝愿大家在明年RMO和APMOPS中取得理想的成绩。如果大家想要获得更多的学习资料和指导可以联系崔老师进入Kangaroo.Study奥数学习交流群。

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